2021清华大学丘成桐中学生数学夏令营7月11日正式开营。12名教师、36名助教、7名辅导员已就位，期待同学们的到来!

　　未来4周，230余名学生将在清华校园完成高水平、高强度的数学学习和研究训练。周一至周六，每天8：00-21：00，专业课、习题课、专题研究，将充满数学学子的生活。

　　课程内容涉及哪些领域?难度如何?让我们一起看一看!即便无法参加此次夏令营，同学们也可以按照课程介绍，学起来。只要坚持，必有所得。

　　连文豪 教授(布兰迪斯大学)

　　课程介绍：线性代数

　　线性代数往往被认为是一门研究线性方程的学问，比如我们熟悉的方程x+y+z=1。实际上，线性代数渗透广泛，影响了许多数学分支领域，比如拓扑、几何、分析，当然还有代数本身。作为一种工具，线性代数的力量体现于整个数学研究之中，并触及物理学、生物学、经济学及其它各类学科的深层问题。

　　回到代数的根本问题：我们运用数字求解方程。什么是数字?为什么是线性方程?求解的过程说明了什么?如何求解?如何描述题解——通过形状和大小么?如果说x+y+z=1描述了三维空间中的一个平面，这意味着什么呢?在三维空间中，给定一个点P和一个平面H，如何找到H中离P最近的点?给定一个平面上的n个点，能找到一条最接近这些点的直线吗?其中一些问题很明显地把线性方程组和几何对象联系起来。我们将深入研究这些数学问题并且探讨其所表达的线性代数內涵。

　　这门课不要求学生接受过高阶数学训练，但需要良好掌握高中代数知识，包括有1-2个变量的方程式、实数，一些微积分和复数知识也是必要的。如果再加上一点点好奇心，就更完美了!每节课连教授都会发布作业，助教检查、批改并反馈给学生。开营之初，还将发布研究性专题项目。助教还将帮助学生完成学习和研究性学习专题项目。

　　盛茂教授(中国科学技术大学)

　　课程介绍：分析和拓扑

　　1872年，Felix Klein发表了有关几何的著名演讲，这在数学史上被称为埃朗根纲领。其重要意义在于将几何学概括为研究几何对象在某种变换群下的不变性质的学科。这对几何和物理的发展产生了重大影响。在这门课程中，我们将深入研读这篇重要文献，并用现代语言加以理解。有趣的是，在文献的8.2题为位置几何学的章节中，Klein预见到了一种新的几何学——拓扑学的兴起。

　　如今，拓扑学已经成为几何学中的一个重要研究分支，在物理学以及其他学科中有着广泛应用。课程将以Felix Klein的文章为中心，探讨几何的历史和新发展。课程内容包括：

　　•(i)希尔伯特的几何公理化方法;

　　•(ii)E^3中刚体的运动，二次曲面的分类;

　　•(iii)变换群和几何体——Klein观点;

　　•(iv)平面射影几何;

　　•(v)CW复形及基本群/同调群

　　参考文献

　　[1] F. Klein, A comparative review of recent researches in geometry, Bull. New York Math. Soc. 2 (1892-1893), 215-249. Available online.

　　王作勤教授(中国科学技术大学)

　　课程介绍：分析和拓扑

　　众所周知，分析是数学中研究极限、微分理论和积分理论的分支。鲜为人知的是，现代分析学的学科大厦之基是实数的完备性或者说实数连续统理论。

　　利用实数的完备性，我们可以证明一些定理，如中值定理(IVP)和极值定理 (EVP)。

　　一个更不为人所知的事实是：上述两个定理成立的基础是实轴上的拓扑(实数的连续统)性质，IVP成立是因为连通性，EVP成立是因为紧性。

　　什么是拓扑?它是个两面巨兽：其中一面叫做“分析面”，涉及 “邻域”、“开集”、“连续性”、“列紧性”等，第二个面叫做“几何面”，涉及“空间”、“连通性”、“形变”等词。

　　拓扑有很多有趣的定理，例如：

　　(1) Brouwer不动点定理。搅动一杯咖啡，杯中总有一滴咖啡的位置与初始相同。

　　(2) 毛球定理。在一个毛球上，无法让所有毛都贴在表面上，总有一些毛会竖起来。

　　有些定理看起来显而易见，而另外一些则显得十分荒谬。无论如何，给出严格证明总是非常困难。

　　课程前半部分将着重从分析层面介绍拓扑，从学习实轴上的拓扑出发，及其在一元函数分析学中的应用。接着，将这些概念从实轴R^1拓展到有限维欧式空间R^n，再扩展至更一般的空间结构，研究对象是函数或形状等，并探讨其在分析和几何中的应用。课程后半部分将转向拓扑学的几何层面。我们将解释如何用分析的思想(包括多变量分析和拓扑中使用的分析方法)来证明Brouwer不动点定理和毛球定理。

　　马杰教授(中国科学技术大学)、胡平副教授(中山大学)

　　课程介绍：代数组合学

　　代数组合学是现代数学的核心领域，与数论、几何学、理论计算机科学和信息论等学科有着密切的关联，在现实生活中也有着越来越广泛和重要的应用，比如互联网、5G网络和人工智能。

　　代数方法广泛应用于组合学的各个分支，且被证明是强有力的重要工具。课程将系统地介绍代数组合学中的基本代数方法，并着重介绍如何应用这些方法来解决离散几何、图论和集合论等领域的各种问题(如计数、设计算法和最优化)。

　　我们重点介绍的概念和例子包含线性空间、多项式、图的邻接矩阵和组合零点定理等多种方法。

　　顾险峰教授(纽约州立大学石溪分校)

　　课程介绍：计算几何

　　计算几何是数学与计算机科学之间的桥梁，它在现代科技发展中起着基础性作用，应用于电影、游戏和医学影像等领域。本次课程将介绍计算几何的基本概念、定理和算法，包括组合拓扑、离散曲面几何、凸几何及其在几何建模、计算机图形学和人工智能领域的应用。

　　组合拓扑方面包括单纯复形、定向、边界、亏格、流形等概念，以及不动点Sperner着色算法;离散曲面方面包括组合Gauss-Bonnet定理、用于纹理贴图的离散曲面调和映射;凸几何方面包括凸包、Power图、基于Delaunay三角剖分的网格生成;深度学习方面包括简单手写体图片的自动编码器和生成模型;编程方面，我们将学习简单的面向对象编程，以及使用OpenGL渲染三维模型和动画。

　　参与本课程，不需要掌握数学分析或高等线性代数知识，但要对高中代数、欧式几何、解析几何有很好的了解。同时了解基本数据结构方面的知识，如数组、列表、指针，以及内存管理将有助于学习本课程。课程作业将分为数学推导和编程两类。

　　扶磊 教授(清华大学)

　　课程介绍：数论I、黎曼ζ函数、有理点、Weil猜想

　　Gauss在他的关于二次互反律的工作中，引入了Gauss和，为了计算这些和，Gauss给出了同余方程：

　　解的个数估计。

　　Weil研究了更一般的方程：

　　这个方程定义的代数簇的 ζ-函数记录了方程(1)解的个数的信息，Weil猜测光滑射影簇的ζ-函数可以用Frobenius对应在代数簇上同调群的作用来表示，并且ζ-函数满足Riemann假设。ζ函数的这些性质给出了代数簇有理点个数的最佳估计。

　　Weil猜想后来被Grothendieck和Deligne用上同调理论证明。在本课程中，我们将用Gauss和来表示(1)的ζ-函数，并直接验证Weil猜想。

　　王崧研究员(中国科学院数学与系统科学研究院)

　　课程介绍：数论II

　　素数分布和丢番图方程是数论中的主要问题。

　　有一些例子：

　　(i)存在无穷多个素数

　　(ii)不存在面积为平方数且边长为整数的直角三角形。

　　本课程的主要目标是证明以下2个结果：

　　•Dirichlet定理：给定a，N≥ 1互质整数，存在无穷多个与a模N同余的素数

　　•Mordell定理：对于射影光滑曲线

　　E上的有理点集具有一个自然的有限生成Abel群结构。

　　课程将介绍群论的一些基础知识，包括交换群、特征和有限生成Abel群的性质和结构。学生应掌握微积分和线性代数的知识。

　　Emmanuel Lecouturier副教授(清华大学)

　　课程介绍：数论III

　　奇素数p可以表示成两个正整数平方和的充要条件是p=4m+1，如5=1^2+2^2，13=2^2+3^2等。这是个众所周知的结果，这一猜测首先由吉拉德于1625年提出，费马于1640年再次提出这一定理，但并未证明。最后，欧拉于1749年证明。人们很容易看出p=x²+y² 意味着p ≡ 1(Mod 4)，反之则不显然。其他类似的问题比如，方程p=x²+14y² 在 x,y∈Z中何时有解?事实证明，答案比以前更加深奥。

　　定理：当且仅当下列两个条件成立时，素数p可以表示为x²+14y²：

　　•p≡1,9,15,23,25,39(Mod 56)

　　•方程式X^4+2X²−7≡0(mod p)有一个解

　　条件(i)的必要性(它类似于欧拉公式中p≡ 1(mod 4)，很容易证明。然而，条件(ii)将引导我们进入所谓的类域论，这是20世纪的主要数学成就之一。

　　课程将介绍这个定理的证明过程。本课程不假设学生提前掌握相关知识(即代数的基本知识，如素数、同余、多项式和复数)。我们还将涉及许多有趣的话题，如二次型，伽罗瓦理论，代数数论等。

　　Mauricio Andrés Romo Jorquera助理教授(清华大学)、William Donovan副教授(清华大学)

　　课程介绍：物理

　　从经典物理学到量子力学

　　量子力学，或许是物理学有史以来最具革命性的发现，为目前理解原子和分子的结构，以及材料和光的性质提供了理论基础。而这些对于现代科技几乎必不可少.

　　量子力学及与相对论相关的量子场论，描述了今天人类所能观测到的亚原子世界中所有活动。在一个世纪里，人类从缺乏原子结构的完备模型，到能够以难以置信的精度计算原子的运动。

　　如果没有19世纪、20世纪那些令人惊叹的实验结果，量子力学是不可能诞生的。同时，量子力学也建立在一系列力学的数学公式之上。这是18、19世纪数学家包括拉格朗日和哈密顿的工作。

　　本课程将首先介绍拉格朗日和哈密顿如何处理经典力学的问题。在经典力学的原始牛顿公式中，粒子的位置r(t)和速度r˙(t)按照牛顿运动定律确定为时间t的函数。而按照拉格朗日和哈密顿的说法，我们将r(t)和r˙(t)视为使得泛函L(r，r˙，t)能取得最小值的函数——这就是拉格朗日函数。

　　这个公式是非常漂亮的，不仅仅是美学上的改进：我们将指出它与数学分支学科深层次联系，包括泛函分析和辛几何。课程第二部分，我们将看到人类是如何自然而然地打开通往量子力学之门。量子世界的主要特征之一是位置r(t)和动量p∼r˙(t)成为独立的非交换变量r^，p^，满足代数关系：

　　其中h´表示普朗克常数。在这个框架下，我们将带领学生共同研究一些推论以及与量子力学有关的数学，包括希尔伯特空间和与物理观测有关的算子代数。我们将应用这点来理解简单的量子系统，如振荡器和原子，并探索经典系统的“量子化”的结果，以及那些没有经典对应的量子系统。